Factorización por el método de evaluación.

División sintética o regla de Rufini.

Se aplica para divir cualquier polinomio P(x) para un binomio de primer grado de la forma (ax + b). Nosotros aquí vamos a estudiar para el caso particular en el que a = 1. Es decir, dividiremos para el binomio (x + b). Para ello utilizaremos el siguiente ejemplo:

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La regla dice que se debe igualar el divisor a cero y despejar el valor de x. Es decir:  x + 2 = 0, de donde x = -2 .  Es este valor el que se coloca como divisor en la galera de Rufini, misma que se muestra en la siguiente figura:

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Obsérvese como colocamos los coeficientes de los términos de la variable en el polinomio P(x) , ordenados según su grado.
El 4 no tiene con quien sumar, de manera que baja como 4 mismo.
Siguiendo el sentido de las flechas y los símbolos matemáticos indicados en ellas, obtenemos los demás elementos de la galera hasta obtener todos los coeficientes de los términos del cociente Q(x),  de igual forma ordenados descendentemente según su grado; en este caso 4, -10 y 21. El último número (- 43) corresponde al residuo R.

Hacemos notar que Q(x) es un de un grado menor que el polinomio P(x). y R un término independiente o constante.

Ahora, y recordando el algoritmo de la división:  P(x) = (x + b).Q(x)+R , podemos concluir:

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Póngase atención que si el residuo hubiese sido cero y no (-43), la división hubiese resultdo exacta; y entonces (x + 2) sería factor del polinomio P(x) dado.

Ahora que sabemos dividir utilizando la regla de Rufini, entraremos propiamente en lo que nos oocupa; la factorización por el método de evaluación.

Para ello consideremos que necesitamos factorar un polinomio P(x) de la forma: kx3 + mx2 + nx + p

Tenemos que analizar si contiene un factor de la forma (x + b). Recuerde que para que esto suceda el residuo R debe ser cero; si esto es así y por el algoritmo de la división tenemos:

kx3 + mx2 + nx + p = (x + b).(Ax2 + Bx + c)

En donde el cociente Q(x) va ha ser en general un polinomio de la forma:

(Ax2 + Bx + c)

Observemos lo que ocurre si efectuamos:

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E decir que:

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Si comparamos término a término, encontramos que: p = (b x c). Es decir que el término b  del divisor (x + b) figura como factor del tpermino independiente del polinomio P(x) dado. Por lo tanto la evaluación se debe realizar para: me005.gif - 622 Bytes

Ejemplo:

Factorar el polinomio P(x) =  x3 - 8x2 +16x - 5

Los factores primos de 5 son 1 y 5, debemos hacer la evaluación por tanto para: me006.gif - 546 Bytes

  • Para (x + 1), igualando a cero tenemos que x = -1. De donde:

me007.gif - 1462 Bytes    Tenemos residuo -30 , concluimos por tanto que (x + 1) no es factor de P(x).

 

  • Para (x - 1), igualando a cero tenemos que x = 1. De donde:

me008.gif - 1391 Bytes     Tenemos residuo 4, concluimos por tanto que (x - 1) no es factor de P(x).

 

  • Para (x+ 5), igualando a cero tenemos que x = -5. De donde:

me009.gif - 1531 Bytes    Tenemos residuo -410, concluimos por tanto que (x + 5) no es factor de P(x).

 

  • Para (x- 5), igualando a cero tenemos que x = 5. De donde:

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En este caso no hubo residuo, por lo que podemos afirmar que (x - 5) es factor del polinomio P(x) propuesto. y como el cociente de la división (x2 - 3x + 1) se constituye automáticamente en el otro factor tenemos:

x3 - 8x2 +16x - 5 = (x - 5).(x2 - 3x + 1 )